交通事故などで介護が必要になった場合、市役所に届け出が必要でしょうか？

必ず、介護保険課事業管理係に届け出をしてください。
交通事故で他人から被害を受け、介護が必要になった場合、その介護にかかる費用は、加害者が負担するのが原則です。
しかし、損害賠償に時間がかかる場合もあるため、一時的に介護保険で保険者負担額の給付を行い、後日、被害を受けた方に代わって、保険者（酒田市）が加害者に対して保険者負担額の請求を行います。